关于紧密几何中 Stokes 方程的高效预处理
数值分析
2023-10-24 v2 数值分析
摘要
如果 Stokes 方程被适当离散化，已知 Schur 补矩阵与单位矩阵谱等价。此外，在简单几何情形下，常观察到其大多数特征值等于一。这些事实构成了著名的 Uzawa 算法的基础。尽管在开发求解 Stokes 问题的高效迭代法方面近期取得了进展，Uzawa 算法在科学与工程领域仍广受欢迎，尤其当由 Krylov 子空间方法加速时。然而，在复杂几何中，Schur 补矩阵可能变得严重病态，具有显著比例的非单位特征值。这使得既有的 Uzawa 预处理器效率低下。为解释此现象，我们考察了 Stokes 方程交错有限差分离散下的 Pressure Schur Complement 形式。首先，我们推测无滑移边界条件是 Schur 补矩阵非单位特征值的成因。其次，我们证明当其流场域的表面体积比增大时，其条件数随之增大。作为 Uzawa 预处理器的替代，我们提议对具有大表面体积比的几何使用扩散型 SIMPLE 预处理器。我们表明后者对此类几何更为快速且鲁棒。此外，我们展示了 SIMPLE 预处理器的使用可更精确地实际计算紧密多孔介质的渗透率。
引用
@article{arxiv.2307.05266,
title = {On the efficient preconditioning of the Stokes equations in tight geometries},
author = {Vladislav Pimanov and Oleg Iliev and Ivan Oseledets and Ekaterina Muravleva},
journal= {arXiv preprint arXiv:2307.05266},
year = {2023}
}