非共形与各向异性网格上高阶有限元离散化非线性 Stokes 方程的求解及其在冰盖动力学中的应用

出于对极地冰盖动力学进行高效且精确模拟的需求，我们设计了用于求解非线性不可压缩 Stokes 方程的高阶有限元离散化方法和可扩展求解器。我们专注于冰动力学和其他地球物理流建模中使用的幂律剪切变稀流变学。我们使用非共形六面体网格以及共形 inf-sup 稳定的有限元速度 - 压力配对 $\mathbb{Q}_k\times \mathbb{Q}^\text{disc}_{k-2}$ 或 $\mathbb{Q}_k \times \mathbb{P}^\text{disc}_{k-1}$。为求解非线性方程，我们提出了一种 Newton-Krylov 方法，该方法针对线性化 Stokes 系统采用了分块上三角预条件子。该预条件子的对角块是 (1,1)-块及其 Schur 补的稀疏近似。(1,1)-块使用基于高阶离散化节点的线性有限元进行近似，其逆的应用则使用带有不完全分解平滑器的代数多重网格进行近似。该预条件子旨在适用于各向异性网格，这对于匹配冰盖典型的高长宽比域是必要的。我们开发并提供了两个库的扩展：用于 p4est 并行 AMR 库的混合网格划分方案，以及用于 PETSc 的改进平滑聚合方案，以增强它们在高长宽比域中求解偏微分方程的支持。数值研究表明，我们的求解器产生了快速收敛，且收敛性与单元长宽比、非共形界面的出现以及网格细化无关，仅弱依赖于多项式有限元阶数。我们模拟了源自实地数据的南极冰盖真实描述中的冰流，并研究了我们的求解器在高达 3.83 亿未知数问题上的并行可扩展性。