关于 St\'ephanois 定理广义中的 CM 例外

关于 j-invariant 的代数值，有两条经典定理：Schneider 定理和 St\'ephanois 定理。Schneider 定理指出，对于 j-invariant，有 $\operatorname{trdeg} \mathbb{Q}(\tau, j(\tau)) \geq 1$，唯一的例外为 CM 点。相比之下，CM 点并非 St\'ephanois 定理的例外，其指出 $\operatorname{trdeg} \mathbb{Q}(q,j(q)) \geq 1$ 对于 j-invariant 的傅里叶展开（$q$-展开），任意 $q$ 均成立。Schneider 定理已推广至更高维度，特别是针对 genus 2 曲线的 Igusa 不变量。这些函数具有傅里叶展开，但 St\'ephanois 类型的结果尚未知晓。在本文中，我们发现 genus 2 中存在正维度的例外来源违反普遍预期行为，并讨论其与 CM 点的关系。我们利用 Humbert 奇异关系，将其纳入超越数框架中。CM 点的 transcendence degree 计算依赖于 Schanuel 猜想。