论 Togliatti 系统的分类

在 [MeMR] 中，Mezzetti 和 Miró-Roig 证明了极小（光滑）单项式 Togliatti 系统 $I\subset k[x_{0},\dotsc,x_{n}]$ 的最小生成元数目 $\mu (I)$ 满足 $2n+1\le \mu(I)\le \binom{n+d-1}{n-1}$，并对所有满足 $2n+1\le \mu(I)\le 2n+2$ 的光滑极小单项式 Togliatti 系统 $I\subset k[x_{0},\dotsc,x_{n}]$ 进行了分类。本文中，我们处理第一个未解决的情形。我们对所有满足 $\mu(I)=2n+3$ 且 $n\ge 2$ 的 $d\ge 4$ 次形式的光滑单项式 Togliatti 系统 $I\subset k[x_{0},\dotsc,x_{n}]$，以及所有满足 $\mu(I)=7$ 的 $d\ge 6$ 次形式的单项式 Togliatti 系统 $I\subset k[x_0,x_1,x_2]$ 进行了分类。