由 Togliatti 系统参数化簇的算术 Cohen-Macaulay 性

给定任意对角循环子群 $\Lambda \subset GL(n+1,k)$ of order $d$，令 $I_d\subset k[x_0,\ldots, x_n]$ 为由所有次数 $d$ 且为 $\Lambda$ 不变元的单项式 $\{m_{1},\ldots, m_{r}\}$ 生成的理想。若 $r \leq \binom{d+n-1}{n-1}$，则 $I_d$ 为单项式 Togliatti 系统，此时由 $(m_{1},\ldots, m_{r})$ 参数化的射影环簇 $X_d$ 称为具有群 $\Lambda$ 的 $GT$-簇。我们证明所有这些 $GT$-簇均为算术 Cohen-Macaulay，并给出其 Hilbert 函数的组合表达式。在 $n=2$ 情形，我们显式计算 $X_d$ 的 Hilbert 函数、多项式与级数。我们确定其齐次理想的最小自由分解，并证明它是由二次与三次式生成的二项素理想。我们也给出两类生成元的确切数目。最后，我们提出判定由 Togliatti 系统参数化的曲面是否为 aCM 的问题。我们构造了为 aCM 的例与不为 aCM 的例。