关于Macaulay定理及其应用的若干结果

设$I$为域$k[z_1,\cdots,z_n]$中的齐次理想，其中$k$为特征为零的代数闭域。Macaulay定理从一个度数推导到下一个度数，对$I$或$R/I$的希尔伯特函数提出约束条件。当前Macaulay定理的标准表述为$H_{R/I}(d+1)\le H_{R/I}(d)^{\langle d\rangle}$，关注商$R/I$，且公式中的组合计算显式包含$d$。然而，Macaulay的原语句子实际上关心$I$本身的希尔伯特函数，相关组合显式包含变量个数（即$n$），且不依赖于$d$。本文给出这两个版本Macaulay定理等价性的初等证明。原degree-independent版本更适合诸如多项式平方范数求和之类问题。受Hermitian类比的希尔伯特第17题及复单体球间正纯映射问题的启发，我们研究满足$M(z,\bar{z})\|z\|^{2l}=\|h\|^2$的Hermitian多项式$M(z,\bar{z})\in\mathbb{C}[z_1,\ldots,z_n,\bar{z}_1,\ldots,\bar{z}_n]$，其中$l$为某个整数，$h=(h_1,\cdots,h_R)$为holomorphic映射。利用Macaulay定理，我们推导了关于$n,l,系数矩阵$M(z,\bar{z})$的签名$(p,q)$与$R$（即$M(z,\bar{z})\|z\|^{2l}$的秩）的新型不等式，并将这些结果推广到任意签名的范数，对于$M(z,\bar{z})$的所有bidegree均 holds uniformly。