扩张希尔伯特函数与哈密顿数的通用字典序理想逼近

令 $R^h$ 表示在指定域 $K$ 上以变量 $x_1,\,\ldots,\, x_h$ 为变元的多项式环。我们同时考虑所有这些环，并在每个环中使用字典序（lex）单项式序，满足 $x_1 > \cdots > x_h$。给定 $R^h$ 中的一个固定齐次理想 $I$，对每个 $d$，存在唯一的、在次数至多为 $d$ 中生成的字典序理想，其希尔伯特函数与 $I$ 的希尔伯特函数在次数至多为 $d$ 时一致。当我们考虑 $IR^N$（$N \geq h$）时，该字典序理想在次数至多为 $d$ 中的极小生成元集合 $\mathfrak{B}_d(I,N)$ 可能会改变，但对所有 $N \gg 0$，$\mathfrak{B}_d(I,N)$ 是常数。我们令 $\mathfrak{B}_d(I)$ 表示对所有 $N \gg 0$ 所得到的生成元集合，并令 $b_d = b_d(I)$ 为其基数。以这种方式得到的序列 $b_1, \, \ldots, \, b_d, \, \ldots$ 可能增长得非常快。值得注意的是，即使当 $I = (x_1^2, x_2^2)$ 时，也会得到一个非常有趣的序列：0, 2, 3, 4, 6, 12, 924, 409620,$\,\ldots$。该序列对于 $d \geq 2$ 与 $H_{d-1} + 1$ 相同，其中 $H_d$ 是第 $d$ 个哈密顿数。哈密顿数曾被 Hamilton 以及 Hammond 和 Sylvester 研究，因为它们出现于一个与在多项式方程处理中使用 Tschirnhaus 变换相关的计数问题中。