纯微分模与 Macaulay 关于混多项式理想的结果

本文的第一个目的是指出 Macaulay 在其 1916 年出版的著名著作《模系统代数理论》中关于微分模 Hilbert 函数所宣布的一个奇特结果。事实上，在该书的第 78/79 页，Macaulay 指出：“一个多项式理想 $\mathfrak{a} \subset k[{\chi}\_1$,..., ${\chi}\_n]=k[\chi]$ 属于{\it 主类} (principal class) 从而是{\it 混合的} (unmixed)，如果其秩为 $r$ 且由 $r$ 个多项式生成。考虑到这一定义，一个具有相伴素理想 $\mathfrak{p} = rad(\mathfrak{q})$ 的准素理想 $\mathfrak{q}$ 使得任何满足 $\mathfrak{a} \subset \mathfrak{q}$ 的主类理想 $\mathfrak{a}$ 在 $k$ 上确定一个具有更大{\it 重数} (multiplicity) 的准素理想。特别地，我们有 $dim\_k(k[\chi]/({\chi}\_1$,...,${\chi}\_n)^2)=n+1$，因为对于单未知量 $y$ 转换为 PD 方程组时，参数射流是 \{${y,y\_1, ...,y\_n}$\}，但任何满足 $\mathfrak{a}\subset ({\chi}\_1,{\^a},{\chi}\_n)^2$ 的主类理想 $\mathfrak{a}$ 都包含于一个{\it 单纯} (simple) 理想中，即一个准素理想 $\mathfrak{q}$，满足 $rad(\mathfrak{q})=\mathfrak{m}\in max(k[\chi])$ 是极大从而是素理想，且 $dim\_k(M)=dim\_k(k[\chi]/\mathfrak{q})=2^n$ 至少成立。因此，任何准素理想 $\mathfrak{q}$ 可能不是主类混合理想 $\mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{q}$ 的准素分解的成员。否则，称 $\mathfrak{q}$ 属于{\it 主诺特类} (principal noetherian class)。”我们的目的是用现代语言解释这一结果，并通过提供 $n=4$ 的类似示例加以说明。这样一个示例的重要性在于，它首次允许展示是 $2,3,4$-无环 (acyclic) 但非内旋 (involutive) 的符号。该示例的另一个意义在于，它具有与共形 Killing 方程系统非常相似的性质，而后者目前尚属未知。出于这个原因，我们将所有示例放在文末，每个示例都以相当独立的方式呈现，尽管其中有些相当棘手。同时，第二个目的是证明 Macaulay 为研究{\it 混合多项式理想} (unmixed polynomial ideals) 所发展的方法只是最近引入的用于研究{\it 纯微分模} (pure differential modules) 的新形式微分几何技术的特例。然而，这些过程基于常微分 (OD) 或偏微分 (PD) 方程组的形式理论，特别是系统性地使用了 Spencer 算子，且尚未被代数学界所认可。