HK重数、$F$-阈值与Paley-Wiener定理

对于给定的特征为$p>0$的代数闭域$k$，我们考虑标准分次对$(R, I)$的分次同构类集合${\mathcal C}_k$，其中$R$是该域上的标准分次环，$I$是有限余长的分次理想。此处我们给出一个环同态$\Pi:\Z[{\mathcal C}_k] \longrightarrow H(\C)[X]$，其中$H(\C)$表示整函数环。相关的整函数与同态$\Pi$记录了该环的两个正特征不变量：$e_{HK}(R, I)$与$c^I({\bf m})$：(1) 将映射$\Pi$与在$z=0$处的赋值映射复合，给出一个环同态$\Pi_e:\Z[{\mathcal C}_k] \longrightarrow \R[X]$，其将$$(R,I) \mapsto e_{HK}(R^0, IR^0)+ e_{HK}(R^1, IR^1)X+\cdots + e_{HK}(R^d, IR^d)X^d,$$其中$R^i$是$R$的$i$维分支的并，$e_{HK}(R^i, IR^i)$是对$(R^i, IR^i)$的HK重数，特别地最高次项系数为$e_{HK}(R, I)$。(2) 若此外$R$是二维环或$\mbox{Proj~R}$是强$F$-正则的，则Fourier变换${\widehat f}_{R, I}$属于该实数的Paley-Wiener类，即极大理想${\bf m}$的$F$-阈值$c^I_{\bf m}(R)$。