正方形区域的单体-二聚体 tatami 铺砌

我们证明了 $n\times n$ 方格上、含 $m<n$ 个单体且任意一点至多只有四块瓦片相汇的单体-二聚体铺砌数为 $m2^m+(m+1)2^{m+1}$,其中 $m$ 与 $n$ 同奇偶。此外,我们给出关于含 $n$ 个单体的此类铺砌数为 $n2^{n-1}$ 这一结果的一个新证明,从而将铺砌划分为 $n$ 个大小为 $2^{n-1}$ 的等价类。对所有单体数求和后,铺砌总数具有闭合形式 $2^{n-1}(3n-4)+2$,并且有趣的是,这等于 $n$ 的所有组合中各部分平方之和。我们还描述了两种算法以及一种用于生成含 $n$ 个单体的 $n2^{n-1}$ 种铺砌的 Gray 码序,它们均基于我们的新证明。