关于具有离散拉普拉斯算子的周期Benjamin-Ono方程的一些特解

我们研究了与离散拉普拉斯算子相关联的Benjamin-Ono (BO)方程的一个周期版本。我们找到了该方程的一些特解，并计算了对应于这些解的前两个运动积分 $I_1$ 和 $I_2$ 的值。发现它们与Macdonald $q$-差分算子的谱之间存在很强的相似性。为了更好地理解这些经典和量子可积系统之间的联系，我们更详细地考虑了对应于 $q=0$ 的特殊退化情况。即，我们给出了这个退化周期BO方程的通解，得到了表示所有运动积分 $I_n$ ($n=1,2,...$) 的显式公式，并成功地将其与Macdonald算子在 $q\to 0$ 极限下的本征值等同起来，该极限即Macdonald多项式趋向于Hall-Littlewood多项式的极限。