矩阵常微分算子的Burchnall-Chaundy多项式与Picard-Vessiot理论

Burchnall和Chaundy证明，若两个具有解析系数的常微分算子（ODOs）$P$、$Q$可交换，则存在具有复系数的多项式$f(\lambda ,\mu)$使得$f(P,Q)=0$，称为BC多项式。该多项式可利用ODOs的微分结式计算。在本工作中，我们将此结果推广到矩阵常微分算子（MODOs）。矩阵元素属于微分域$K$，其常数域$C$代数闭且特征为零。我们限制于阶一算子$P$且首项系数可逆的情形。定义了一种新的微分消元工具：矩阵微分结式。它用于计算一对可交换MODOs的BC多项式$f$，并证明具有常系数。该结式给出了谱问题$PY=\lambda Y \ , \ QY=\mu Y$有解的充要条件。微分代数与Picard-Vessiot理论的技术使我们能够显式描述MODOs交换环$C[P,Q]$与不可约代数曲线环的有限乘积之间的同构。