计算代数几何三阶常微分算符空间谱曲线的定义理想

自一个世纪前 Burchnall 与 Chaundy 的工作起，交换常微分算符(ODOs)对便与平面代数曲线相关联。我们现引入交换对的 Burchnall-Chaundy (BC) 理想这一概念，即该对算符满足的所有常系数二元多项式构成的理想。我们证明此素理想等于一个微分消去理想的根，且为平面代数曲线（即交换对的谱曲线）的定义理想。本文 ODOs 的系数位于任意微分域中，该域的常数域代数闭且特征为零。受近期针对谱问题 $L(y)=\lambda y$（其中 $\lambda$ 为代数参数）引入的 Picard-Vessiot 理论扩展的启发，我们还定义了代数几何三阶算符 $L$ 的 BC 理想。这给出了 I. Schur 著名定理的构造性证明，建立了 $L$ 的中心化子与其空间代数曲线的坐标环之间的同构；我们将该曲线定义为 $L$ 的谱曲线，其定义理想即为 $L$ 的 BC 理想。我们给出了首个非平面谱曲线的显式例子。我们通过微分结式计算了该曲线定义理想的一组生成元，并定义了一个由谱曲线确定的新系数域，以有效计算 $L-\lambda$ 的固有右因子。