常阈值图笛卡尔积的垄断与动态垄断

设 $G$ 为任意简单无向图。所谓 $G$ 中的阈值指派 $\tau$ 是指任意函数 $\tau:V(G)\rightarrow \mathbb{N}$，使得对任意顶点 $v\in V(G)$ 有 $\tau(v)\leq d_G(v)$。给定带阈值指派 $\tau$ 的图 $G$，若对任意顶点 $v \in V(G) \setminus M$ 在 $M$ 中至少有 $\tau(v)$ 个邻点，则称顶点子集 $M$ 为 $\tau$-垄断。类似地，若从集合 $D$ 出发并迭代地将当前集合中已有至少 $\tau(u)$ 个邻点的进一步顶点 $u$ 加入，最终得到整个顶点集 $V(G)$，则称顶点子集 $D$ 为 $\tau$-动态垄断。记 $mon_{\tau}(G)$（相应 $dyn_{\tau}(G)$）为图的所有 $\tau$-垄断（相应 $\tau$-动态垄断）中最小的基数。本文针对笛卡尔积图在常阈值指派下获得了这两个参数的一些下界与上界。我们的界改进了先前已知的界。我们还确定了包括圈与完全图在内的一些笛卡尔图积中带固定阈值的这两个参数的精确值。