关于图的动态垄断：平均阈值与严格多数阈值

设 $G$ 为图，${\mathcal{\tau}}: V(G)\rightarrow \Bbb{N}\cup \{0\}$ 为 $G$ 的顶点分配的阈值函数。若 $G$ 的顶点集可划分为子集 $D_0, D_1,..., D_k$，使得 $D_0=D$，且对于任意 $i\in {0, ..., k-1}$，$D_{i+1}$ 中的每个顶点 $v$ 在 $D_0\cup ... \cup D_i$ 中至少有 $\tau(v)$ 个邻居，则称顶点子集 $D$ 为对应于 $(G, \tau)$ 的动态垄断。动态垄断实际上是对社会网络中影响力不可逆传播过程的建模。本文首先根据平均阈值和图的阶数，得到了任意动态垄断最小规模的下界；并根据图的最小顶点覆盖数得到了其上界。随后，当图 $G$ 至少包含一个奇度顶点，且任意顶点 $v$ 的阈值设定为 $\lceil (deg(v)+1)/2 \rceil$（即严格多数阈值）时，我们推导出任意动态垄断最小规模的上界为 $|G|/2$。该界改进了严格多数阈值情形下的已知最佳上界。我们证明了该上界可通过多项式时间算法达到。我们还证明了 $\alpha'(G)+1$ 是严格多数动态垄断规模的一个上界，其中 $\alpha'(G)$ 表示 $G$ 的匹配数。最后，我们根据平均阈值和顶点度数，得到了任意动态垄断最小规模的一个基本上界，并利用该界推导出了其他若干上界。