部分顶点覆盖及若干静态与动态垄断问题的复杂性

设 $G$ 为一个图，$\tau$ 为对 $G$ 的顶点赋予非负整数阈值的赋值。用 $\bar{\tau}$ 表示 $\tau$ 中阈值的平均值。若 $V(G)$ 可划分为子集 $D_0, D_1, \ldots, D_k$，使得 $D_0=D$ 且对任意 $i\in \{0, \ldots, k-1\}$，子集 $D_{i+1}$ 中的每个顶点 $v$ 在 $D_0\cup \ldots \cup D_i$ 中至少有 $\tau(v)$ 个邻居，则称顶点子集 $D$ 为 $\tau$-动态垄断。用 $dyn_{\tau}(G)$ 表示最小 $\tau$-动态垄断的大小。又若顶点子集 $M$ 满足任意 $v\in V(G)\setminus M$ 在 $M$ 中至少有 $\tau(v)$ 个邻居，则称 $M$ 为 $\tau$-静态垄断（或简称 $\tau$-垄断）。用 $mon_{\tau}(G)$ 表示最小 $\tau$-垄断的大小。对于给定的正数 $t$，记 $Sdyn_t(G)$（相应地为 $Smon_t(G)$）为在所有满足 $\overline{\tau}\geq t$ 的阈值赋值 $\tau$ 中最小的 $dyn_{\tau}(G)$（相应地为 $mon_{\tau}(G)$）。本文考虑如下的部分顶点覆盖概念。设 $G=(V, E)$ 为图，$t$ 为任意正整数。若子集 $S\subseteq V$ 覆盖 $G$ 的至少 $t$ 条边，则称 $S$ 为 $G$ 的 $t$-部分顶点覆盖。用 $P\beta_t(G)$ 表示 $G$ 的最小 $t$-部分顶点覆盖的大小。设 $\rho$（$0<\rho<1$）为任意固定数，$G$ 为具有 $m$ 条边的给定二部图。我们首先证明，确定集合 $S\subseteq V(G)$ 的最小基数使得 $S$ 覆盖 $G$ 的至少 $\rho m$ 条边是一个 NP-困难问题。然后我们证明，对任意常数 $t$，有 $Sdyn_{t}(G)=P\beta_{nt-m}(G)$ 且 $Smon_t(G)=P\beta_{nt/2}(G)$，其中 $n$ 和 $m$ 分别为 $G$ 的阶和大小。