社交图中的弱动态垄断

动态垄断已被定义并用于刻画社交网络中影响传播现象（如疾病、观点、新产品采纳等）的表述。网络中已受影响（如被感染或采纳某观点）的要素称为活跃顶点。这些模型假设当一个要素被激活后，它保持活跃直至过程结束。但在某些影响传播现象中该性质不成立。例如某些疾病的感染仅持续有限时间，或考虑疾病传播或计算机病毒扩散伴随某种隔离或净化方法。动态垄断不适用于研究后一类现象。为此，我们引入此类影响扩散的新模型，称之为弱动态垄断。社交网络由图 $G$ 表示。假设 $G$ 的任意顶点 $v$ 具有阈值 $\tau(v)\in \Bbb{N}$。则子集 $D\subseteq V(G)$ 称为弱动态垄断，若 $V(G)$ 可划分为 $D_0=D, D_1, \ldots, D_k$，使得对任意 $i$，$D_i$ 的任意顶点 $v$ 在 $D_{i-1}$ 中至少有 $\tau(v)$ 个邻居。此定义中，$D$ 的大小与处理时间分别指 $|D|$ 与 $k$。我们首先研究弱动态垄断与其他相关概念的关系，然后给出弱动态垄断最小大小的一些界。接着我们得到关于弱动态垄断处理时间相对于某些图参数的若干结果。最后，给出了一般图中确定弱动态垄断最小大小不可近似性的困难性结果。