关于具有给定平均阈值的图的最大动态垄断集

设 $G$ 为一个图，$\tau$ 为分配给 $G$ 顶点的非负整数阈值。若顶点子集 $D$ 满足 $V(G)$ 可划分为子集 $D_0, D_1, \ldots, D_k$，使得 $D_0=D$，且对于任意 $i\in \{0, \ldots, k-1\}$，$D_{i+1}$ 中的每个顶点 $v$ 在 $D_0\cup \ldots \cup D_i$ 中至少有 $\tau(v)$ 个邻居，则称 $D$ 为 $\tau$-动态垄断集。记最小 $\tau$-动态垄断集的大小为 $dyn_{\tau}(G)$，$\tau$ 中阈值的平均值为 $\overline{\tau}$。我们证明了在所有具有相同平均阈值的赋值 $\tau$ 下，$dyn_{\tau}(G)$ 的值构成一个连续的整数集。对于任意正数 $t$，记在所有满足 $\overline{\tau}\leq t$ 的阈值赋值 $\tau$ 下 $dyn_{\tau}(G)$ 的最大值为 $Ldyn_t(G)$。事实上，$Ldyn_t(G)$ 表示当平均阈值为给定值 $t$ 时动态垄断集的最坏情况值。我们研究了在何种关于 $t$ 的条件下，存在形式为 $c|G|$（其中 $c<1$）的 $Ldyn_{t}(G)$ 上界。接下来，我们证明了对于平面图，$Ldyn_t(G)$ 是 coNP-难的，但对于森林图则有多项式时间解。