关于symplectic商pace的局部化与Riemann-Roch数

设 $(M,\omega)$ 为由紧致微分流形，由紧致李群 $K$ 以Hamiltonian方式作用，矩元映射 $\mu: M \to \Lie(K)^*$，Marsden-Weinstein 商化为 $M_{red} = \mu^{-1}(0)/K$。本文假设 $M$ 具有 $K$-invariant K"ahler 结构。在之前的论文中，我们证明了关于 $\eta_0 e^{\omega_0}[M_{red}]$ 的公式（称为残数公式），其中 $\omega_0$ 为 $M_{red}$ 上的诱导黎塞氏形式。本文在特殊情形 $\eta_0 = Td(M_{red})$ 下应用该残数公式；当 $K$ 在 $\mu^{-1}(0)$ 上自由作用时，这得到关于由单值 holomorphic 线丛 $L$ 上诱导的 holomorphic 线丛 $L_{red}$ 的Riemann-Roch数 $RR (L_{red})$ 的公式，其中 $c_1(L) = \omega$。利用holomorphic Lefschetz 公式，我们同样得到关于 $L$ 的 $K$-invariant Riemann-Roch数 $RR^K(L)$ 的公式。在最大torus $T$ 维数为1的情况下（除少数特殊情况外），我们证明这两个公式相等。因此，在此特殊情况下，残数公式等价于Guillemin 和 Sternberg的结果，即 $RR(L_{red}) = RR^K(L)$。（残数公式是在假设0是 $\mu$ 的regular value的条件下给出的，公式中使用了 $M$ 在等效上同调 $H^*_T(M)$ 中的类的限制。）