关于 $\lambda$-双随机不可约矩阵与交换结合方案的 Hoffman 多项式

设 $\Gamma$ 表示一个有限（强）连通正则（有向）图，其邻接矩阵为 $A$。$\Gamma=\Gamma(A)$ 的 {\em Hoffman 多项式} $h(t)$ 是满足 $h(A)=J$ 的最小次数唯一多项式，其中 $J$ 表示全 1 矩阵。设 $X$ 表示一个非空有限集。若非负矩阵 $B\in{\mbox{Mat}}_X({\mathbb R})$ 满足对每个 $y\in X$ 都有 $\sum_{z\in X} (B)_{yz}=\sum_{z\in X} (B)_{zy}=\lambda$，则称其为 {\em $\lambda$-双随机} 矩阵。在本文中，我们首先证明存在多项式 $h(t)$ 使得 $h(B)=J$ 当且仅当 $B$ 是 $\lambda$-双随机不可约矩阵。这一结果允许我们定义 $\lambda$-双随机不可约矩阵的 Hoffman 多项式。现在，设 $B\in{\mbox{Mat}}_X({\mathbb R})$ 表示一个正规不可约非负矩阵，${\cal B}=\{p(B)\mid p\in{\mathbb{C}}[t]\}$ 表示 $B$ 的所有多项式构成的 ${\mathbb{C}}$ 上的向量空间。我们按如下方式定义一个 $01$-矩阵 $\widehat{A}$：当且仅当 $(B)_{xy}>0$ ($x,y\in X$) 时，$(\widehat{A})_{xy}=1$。设 $\Gamma=\Gamma(\widehat{A})$ 表示邻接矩阵为 $\widehat{A}$、直径为 $D$ 的（有向）图，并设 $A_D$ 表示 $\Gamma$ 的距离 -$D$ 矩阵。我们证明，${\cal B}$ 是交换 $D$ 类结合方案的 Bose--Mesner 代数，当且仅当 $B$ 是具有 $D+1$ 个不同特征值的正规 $\lambda$-双随机矩阵，且 $A_D$ 是 $B$ 的多项式。