特征为二的对称矩阵的最小多项式与特征多项式

设 $k$ 为特征为二的域。我们证明：次数 $n$ 的非恒定首一多项式 $f\in k[X]$ 是元素在 $k$ 中的对称矩阵的最小/特征多项式，当且仅当它不是两两不同的不可分不可约多项式的乘积。在此情形下，我们证明 $f$ 是大小为 $n$ 的对称矩阵的最小多项式。我们还证明：任意代数闭包 $k_{alg}$ 中次数 $n\geq 1$ 的元素 $\alpha$ 是大小为 $n$ 或 $n+1$ 的对称矩阵的特征值，且前一种情况发生当且仅当 $\alpha$ 的最小多项式不是两两不同的不可分不可约多项式的乘积。