各种多项式集合的对称性

设 $K$ 为特征为 $0$ 的域，设 $k \geq 2$ 为整数。我们证明，每个 $K$ 线性双射 $f \colon K[X] \to K[X]$ 严格保持 $k$ 倍自由多项式集合（或 $K$ 中具有 $k$ 倍根的多项式集合）必为 $K$ 代数自同构的常数倍，即存在 $a, c \in K^{\times}$ 和 $b \in K$，使得 $f(P)(X) = c P(a X + b)$。当 $K$ 为数域或 $K=\mathbb R$ 时，我们证明了类似的陈述也适用于 $f$ 仅保留 $K$ 中有根的多项式集合的情况。