关于Brown-York和Liu-Yau拟局部质量相关的几何问题

我们讨论了与Brown-York \cite{BYmass1} \cite{BYmass2}和Liu-Yau \cite{LY1} \cite{LY2}提出的拟局部质量定义相关的一些几何问题。我们的讨论由三部分组成。在第一部分中，我们提出了一个关于带边紧流形的新变分问题，该问题源于对Brown-York质量的研究。我们证明了该变分问题的临界点恰好是静态度量。在第二部分中，我们推导了在三维环境流形中演化的光滑闭二维曲面族的Brown-York质量的导数公式。作为一个有趣的副产品，我们能够将渐近平坦三维流形的ADM质量 \cite{ADM61} 写为坐标球面$S_r$的Brown-York质量与标量曲率积分加上渐近区域$S_r$外一个几何构造函数$\Phi(x)$的积分之和。在第三部分中，我们证明，对于闵可夫斯基空间$\R^{3,1}$中任何定义了Liu-Yau质量的闭类空二维曲面$\Sigma$，如果$\Sigma$在$\R^{3,1}$中包围一个紧类空超曲面，那么$\Sigma$的Liu-Yau质量严格为正，除非$\Sigma$位于一个超平面上。我们还证明了\'{O} Murchadha、Szabados和Tod \cite{MST}给出的例子是该结果的特殊情况。