关于某些新的可积二阶非线性微分方程及其与二维Lotka-Volterra系统的联系

本文考虑形如 $\ddot{x}+k_1\frac{\dot{x}^2}{x}+(k_2+k_3x)\dot{x}+k_4x^3+k_5x^2+k_6x=0$ 的二阶非线性常微分方程，其中 $k_i$（$i=1,2,...,6$）为任意参数。通过使用修正的Prelle-Singer方法，我们在该方程中识别出五个新的可积情形，以及两个已知的可积情形，即 (i) $k_2=0, k_3=0$ 和 (ii) $k_1=0, k_2=0, k_5=0$。在这五个新情形中，四个方程具有依赖于时间的第一积分，另一个方程具有不依赖于时间的第一积分。从不依赖于时间的第一积分出发，推导出非标准哈密顿结构，从而证明了Liouville意义下的可积性。对于依赖于时间的积分情形，我们要么直接积分系统，要么将其转化为时间无关情形并推导出潜在的哈密顿结构。我们还证明了上述二阶常微分方程与二维Lotka-Volterra (LV) 系统密切相关。由此可以推导出上述非线性方程的可积参数以及后者所有已知的可积情形。