某类接触度量流形上的一类静态方程

本文研究容许正光滑函数 $f$ 满足方程 $f\mathring{Ric}=\mathring{\nabla}^2f$ 的 $K$-接触与 $(\kappa,\mu)$-接触流形，其中 $\mathring{Ric}$、$\mathring{\nabla}^2f$ 分别为无迹 Ricci 张量与 Hessian 张量。我们证明了：若完备且单连通的 $K$-接触流形容许此类光滑函数 $f$，则其等距于单位球面 $\mathbb{S}^{2n+1}$。进而，我们证明若非 Sasaki 的 $(\kappa,\mu)$-接触度量流形容许此类光滑函数 $f$，则当 $n=1$ 时局部平坦，当 $n>1$ 时局部等距于积空间 $E^{n+1}\times S^n(4)$。