Ollivier 曲率、等周性、集中与对数 Sobolev 不等式

我们引入了马尔可夫链上程函方程的拉普拉斯分离原理。作为应用，我们证明了具有非负 Ollivier 曲率的马尔可夫链的等周集中不等式。即，集中剖面的每一个单点都给出等周估计每一点的一个估计。应用于指数和高斯集中，我们得到了 Erbar 和 Fathi 提出的两个开放问题的肯定回答。此外，我们证明了在假设非负 Ollivier 截面曲率（即用 $\ell_\infty$ Wasserstein 距离替换 $\ell_1$ 后的 Ollivier Ricci 曲率）下，修正对数 Sobolev 常数至少等于最小 Ollivier Ricci 曲率。这解决了 Pedrotti 最近的一个开放问题。我们给出一个简单例子，表明非负 Ollivier 截面曲率是通过正 Ollivier Ricci 下界获得修正对数 Sobolev 不等式所必需的。这为 Peres 和 Tetali 的一个猜想提供了反例。