关于标量曲率局部刚性定理的研究

利用Ricci流，我们研究了关于标量曲率、等周常数与$L^2$对数Sobolev不等式最佳常数的局部刚性定理。确切地说，我们证明若$n$维黎曼流形中开集$V$上的度量$g$满足 $$\int_V R(g) dvol_g \ge 0 \text{\ \ and\ \ } I(V)\ge I(\mathbb{R}^n),$$ 或 $$\int_V R(g) dvol_g \ge 0 \text{\ \ and\ \ } S(V)\ge S(\mathbb{R}^n),$$ 则$g=g_{\mathbb{R}^n}$在$V$上成立，其中$R(g)$为$g$的标量曲率，$\mathbb{R}^n$为欧氏空间，$I(V)$为$V$的等周常数，$S(V)$为$V$的$L^2$对数Sobolev不等式最佳常数。此外，我们还得到了关于局部Perelman $\nu$-熵的局部$\mathbb{R}^n$-刚性，以及关于$R(g)\ge n(n-1)$（相应为$R(g)\ge -n(n-1)$）、加权等周常数与加权度量$\left(\cos{\frac{d_g(p,x)}{2}}\right)^{-4}g$（相应为$\left(\cosh{\frac{d_g(p,x)}{2}}\right)^{-4}g$）的加权$L^2$对数Sobolev不等式最佳常数情形的局部$\mathbb{S}^n$-刚性（相应为$\mathbb{H}^n$-刚性）定理。