新的对数 Sobolev 不等式与 Ricci 流的 $\epsilon$-正则性定理

在本注记中，我们证明了关于 Ricci 流的一个新的 $\epsilon$-正则性定理。设 $(M^n,g(t))$（其中 $t\in [-T,0]$）为一个 Ricci 流，$H_{x}$ 为以最终时间切片中的点 $(x,0)$ 为中心的共轭热核。将 $H_{x}$ 代入 Perelman 的 $W$-泛函会产生一个关于 $s \in [-T,0]$ 的单调函数 $W_{x}(s)$，即点熵，满足 $W_{x}(s) \le 0$，且当且仅当 $(M,g(t))$ 等距同构于 $\mathbb{R}^n$ 上的平凡流时 $W_{x}(s) = 0$。我们的主要定理断言：存在一个 $\epsilon>0$，仅依赖于 $T$ 以及 $(M,g(-T))$ 的标量曲率下界和 $\mu$-熵界，使得若 $W_{x_0}(s) > -\epsilon$，则在抛物球 $P_{\epsilon r}(x,0)$ 上满足 $|Rm|< r^{-2}$，其中 $r^2 = |s|$ 且 $P_r(x,t) \equiv B_r(x,t)\times (t-r^2,t]$。该定理的主要技术挑战是证明 $W_x(s)$ 的 $s$-平均值关于 $x$ 的有效 Lipschitz 界。为此，我们需要一个新的对数 Sobolev 不等式。Perelman 已知度量测度空间 $(M,g(t),dv_{g(t)})$ 满足对数 Sobolev 不等式；然而，我们证明了这对于共轭热核加权空间 $(M,g(t),H_{x}(-,t)\,dv_{g(t)})$ 同样成立。事实上，这些加权空间的对数 Sobolev 常数是通用且尖锐的。加权对数 Sobolev 不等式还有其他推论，包括仅依赖于双向标量曲率界的共轭热核的平均高斯上界。