余维数为一流形区域上的 Ricci 流

设 $G$ 为紧李群，$H$ 为 $G$ 的闭子群，且齐性空间 $G/H$ 连通。本文研究了在与 $[0,1]\times G/H$ 微分同胚的流形 $M$ 上的 Ricci 流。首先，我们证明了满足边界条件 $\mathop{\mathrm{II}}(g(t))=F(t,g_{\partial M}(t))$ 和初始条件 $g(0)=\hat g$ 的 $G$-不变解 $g(t)$ 的短时存在性与唯一性定理。其中，$\mathop{\mathrm{II}}(g(t))$ 是 $\partial M$ 的第二基本形式，$g_{\partial M}$ 是由 $g(t)$ 在 $\partial M$ 上诱导的度量，$F$ 是光滑映射，$\hat g$ 是 $M$ 上的度量。其次，我们研究了 $M$ 上的 Perelman $\mathcal F$-泛函。我们的结果大致表明，只要该解满足受 Gianniotis 2012 年论文启发的边界条件，$\mathcal F$ 在修正 Ricci 流的 $G$-不变解上是非减的。