闭流形上 Ricci 流的体积界

设 $\{g(t)\}_{t\in [0,T)}$ 为闭 Riemann 流形 $M^n$ ($n\geq 3$) 上 Ricci 流的解。在没有任何假设的情况下，我们导出形如 ${\rm Vol}_{g(t)}\geq C (T-t)^{\frac{n}{2}}$ 的下体积界，其中 $C$ 仅依赖于 $n$、$T$ 和 $g(0)$。特别地，我们证明 $${\rm Vol}_{g(t)} \geq e^{ T\lambda-\frac{n}{2}} \left(\frac{4}{(A(\lambda-r)+4B)T}\right)^{\frac{n}{2}}\left(T-t\right)^{\frac{n}{2}},$$ 其中 $r:=\inf_{\|\phi\|_2^2=1} \int_M R\phi^2 \ d{\rm vol}_{g(0)}$，$\lambda:=\inf_{\|\phi\|_2^2=1} \int_M 4|\nabla\phi|^2+R\phi^2\ d{\rm vol}_{g(0)}$，且 $A,B$ 为 $(M,g(0))$ 的 Sobolev 常数。该估计是精确的，因为对于标量曲率 $R_{g(0)}=n(n-1)$ 且 $A=\frac{4}{n(n-2)}\omega_n^{-\frac{2}{n}}$、$B=\frac{n-1}{n-2}\omega_n^{-\frac{2}{n}}$ 的单位球面，该估计可以被取到。另一方面，若直径满足 ${\rm diam}_{g(t)}\leq c_1\sqrt{T-t}$ 且存在点 $x_0\in M$ 使得 $R(x_0,t)\leq c_2(T-t)^{-1}$，则对所有 $t>\frac{T}{2}$ 有 ${\rm Vol}_{g(t)}\leq C (T-t)^{\frac{n}{2}}$，其中 $C$ 仅依赖于 $c_1,c_2,n,T$ 和 $g(0)$。