4-流形上归一化 Ricci 流的最大解

我们考虑归一化 Ricci 流的最大解 $g(t)$，$t\in [0, +\infty)$。除其他结果外，我们证明了：若 $(M, \omega)$ 是一个光滑紧致辛 4-流形，满足 $b_2^+(M)>1$，且 $g(t),t\in[0,\infty)$ 是 $M$ 上满足 (1.3) 的解，其 Ricci 曲率满足 $|\text{Ric}(g(t))|\leq 3$，此外 $\chi(M)=3 \tau (M)>0$，则存在 $m\in \mathbb{N}$ 和点序列 $\{x_{j,k}\in M\}$，$j=1, ..., m$，使得对于任意序列 $t_{k}\longrightarrow \infty$，在取子序列后，有 $$(M, g(t_{k}+t), x_{1,k},..., x_{m,k}) \stackrel{d_{GH}}\longrightarrow (\coprod_{j=1}^m N_j, g_{\infty}, x_{1,\infty}, ...,, x_{m,\infty}),$$ $t\in [0, \infty)$，这是在 $m$ 点 Gromov-Hausdorff 意义下的收敛，其中 $(N_{j}, g_{\infty})$，$j=1,..., m$，是复维数为 2 的完备复双曲轨形，至多包含有限个孤立轨形点。此外，该收敛在 $\coprod_1^m N_{j}$ 的非奇异部分是 $C^{\infty}$ 的，且 $\text{Vol}_{g_{0}}(M)=\sum_{j=1}^{m}\text{Vol}_{g_{\infty}}(N_{j})$，其中 $\chi(M)$（分别为 $\tau(M)$）是 $M$ 的 Euler 示性数（分别为签名）。