离散对数-Sobolev 不等式中的内蕴正则性

链式法则位于流形上马尔可夫扩散的 Gamma 微积分的核心，在 Bakry-Émery 曲率、熵衰减和超压缩性等若干基本概念之间提供了显著的联系。对于有限状态空间上的马尔可夫链，该链式法则的近似版本近期已被提出，并引入了依赖于所考虑观测量的 log-Lipschitz 正则性的额外代价。受这些发现的启发，我们在此研究离散对数-Sobolev 不等式中极值化的正则性。具体而言，我们证明其 log-Lipschitz 常数被 $\log d$ 的通用倍数所界定，其中 $d$ 表示最小非零转移概率的倒数。作为推论，我们推导出任意有限状态空间上的可逆马尔可夫链的对数-Sobolev 常数至少为 $\kappa/\log d$ 的通用倍数，其中 $\kappa$ 为 Bakry-Émery 曲率。这是 Bakry-Émery 理论对扩散方程最标志性应用的一个精确离散类比。我们还获得了 \cite{MR4620718} 中主要结果的非常简单的证明，该结果断言对数-Sobolev 常数及其修正版本在 $\log d$ 因子意义下一致。我们的工作确立了稀疏性参数 $\log d$ 作为将结果从马尔可夫扩散转移到离散链的通用代价的角色。