Sobolev 不等式与周期势中扩散过程的个体不变性原理

我们考虑 $\mathbb{R}^d$ 中的扩散过程，其生成元形式为 $L:=\frac 12 e^{V(x)}div(e^{-V(x)}\nabla )$，其中 $V$ 是可测且周期的。我们仅假设 $e^V$ 和 $e^{-V}$ 是局部可积的。随后我们证明，在经过适当的重缩放后，对于 Lebesgue 几乎所有的起始点，该扩散过程的律收敛于 Brownian motion。这种逐点不变性原理此前仅在一致椭圆性条件（即 $V$ 有界）下已知，最近也在关于 $e^V$ 和 $e^{-V}$ 更严格的 $L^p$ 条件下得到证明。我们的方法利用 Dirichlet form 理论来定义过程、鞅和时间变换，并构造修正项 (corrector)。用于证明修正项次线性增长的主要技术工具是一个针对可积势的新加权 Sobolev 型不等式。我们大量依赖调和分析技术。