离散时间非线性马尔可夫链的收敛性与唯一性

本文在特定条件下证明了一般离散时间非线性马尔可夫链的收敛性与唯一性。结果在离散微分几何中具有重要应用。首先，我们证明了离散时间 Ollivier Ricci 曲率流 $d_{n+1}:=(1-\alpha\kappa_{d_{n}})d_{n}$ 在有限加权图上收敛到常数曲率度量。如 \cite[Theorem 5.1]{M23} 所示，局部有限图上非负 Ollivier 曲率下存在拉普拉斯分离原理。我们进一步证明了拉普拉斯分离流收敛到常数拉普拉斯解，并推广到非线性 $p$-Laplace 算子。此外，我们的結果也可用于研究非线性 Dirichlet 型理论和非线性 Perron-Frobenius 理论中的长期行为。最后，我们定义了与经典 Ollivier Ricci 曲率、节段曲率 \cite{CMS24}、 hypergraphs 上的粗糙 Ricci 曲率 \cite{IKTU21} 以及 $p$-Laplace 的修改 Ollivier Ricci 曲率一致的离散马尔可夫链的 Ollivier Ricci 曲率。我们也建立了非负 Ollivier Ricci 曲率下离散马尔可夫链的收敛结果。