离散Ollivier-Ricci曲率

我们分析了装备有给定距离“$\dist$”（关于该距离$\G$是度量完备的）且针对一般随机游走的局部有限加权图$\G$的连续时间与离散时间Ollivier-Ricci曲率。我们证明了连续时间Ollivier-Ricci曲率对一大类马尔可夫与非马尔可夫随机游走均是良定义的，并给出了连续时间Ollivier-Ricci曲率存在的判据；所述结果推广了文献中先前相当有限的构造。此外，我们获得了离散时间与连续时间Ollivier-Ricci曲率的重要性质，其中包括——仅举数例——离散时间Ollivier-Ricci的利普希茨连续性、凹性、分段正则性（线性游走情形下的分段线性），以及连续时间Ollivier-Ricci的利普希茨连续性与无极限表述。这些性质先前仅对非常特定的距离与非常特定的随机游走已知。作为利普希茨连续性的应用，我们获得了广义连续时间Ollivier-Ricci曲率流的存在唯一性。在此过程中，我们通过优化McMullen上界，获得了凸多面体顶点数关于其面数与环境维数的尖锐上界估计，这在凸几何中可能有独立意义。所述上界使我们能够界定时间多项式随机游走中作为时间函数的离散时间Ollivier-Ricci曲率的多项式片段数。我们建立的无极限表述使我们能够定义一个算子论Ollivier-Ricci曲率，它是合适算子空间上的非线性凹泛函。