一族光滑 $G$-Hilbert 方案的笔记

设 $G = \mathbb{Z}/r\mathbb{Z}$ 为秩为 $r$ 的循环群，设 $\varpi = e^{2\pi i / r}$ 为原始 $r$ 次单位根。考虑 $G$ 在 $\mathbb{C}^n$ 上的作用，通过嵌入 $$\varphi : G \hookrightarrow GL_n(\mathbb{C}), \qquad \varphi(1) = \mathrm{diag}\!\bigl( \underbrace{\varpi, \dots, \varpi}_{s}, \underbrace{\varpi^{-1}, \dots, \varpi^{-1}}_{n - s} \bigr),$$ 其中 $0 < s < n$。记相应的 GIT 商为 $$\mathcal{X}_{s,n,r} = \mathrm{Spec}\bigl((\mathbb{C}[z_1,\dots,z_n])^G\bigr).$$ 则 $\mathcal{X}_{s,n,r}$ 为类型 $\tfrac{1}{r}\bigl(\underbrace{1,\dots,1}_{s}, \underbrace{-1,\dots,-1}_{n-s}\bigr)$ 的循环商奇点。我们证明了关联的 $G$-Hilbert 方案 $\mathcal{Y}_{s,n,r}$ 为光滑、连通且不可约。自然态射 $$\rho_{s,n,r}:\mathcal{Y}_{s,n,r}\longrightarrow\mathcal{X}_{s,n,r}$$ 为 $\mathcal{X}_{s,n,r}$ 的射影解析，对于 $n \ge 3$ 时为非平凡。我们证明了中心纤维 $\rho_{s,n,r}^{-1}(0)$ 的不可约分支与 $G$ 的非平凡字符之间存在一一对应，从而在此族例中实现了经典的 McKay 对应。最后，我们通过 Fourier--Mukai 类型函子 $$\Psi : D^b(\mathrm{Coh}_G(\mathbb{C}^n)) \longrightarrow D^b(\mathrm{Coh}(\mathcal{Y}_{s,n,r})),$$ 描述了该对应关系的规范选择，证明对每个非平凡不可约表示，对应的天际 sheaf 被映射到一个其 $0^{\text{第}}$ 同调复合物，其支持唯一地位于中心纤维 $\rho_{s,n,r}^{-1}(0)$ 的唯一一个不可约分支上。