广义Navier-Stokes方程的范数膨胀

我们考虑三维情形下具有拉普拉斯算子分数次幂$\alpha\in[1,\infty)$的不可压缩Navier-Stokes方程。我们证明存在一个光滑解，其在$\dot{B}_{\infty,p}^{-\alpha}$（$2<p \leq \infty$）中的初始数据可以任意小，而在任意短的时间内，对于所有$s>0$，该解在$\dot{B}_{\infty,\infty}^{-s}$中可以变得任意大。这推广了Bourgain和Pavlović关于经典Navier-Stokes方程的结果，该结果利用了能量向低频模态的转移会增大具有负光滑性指标的范数这一事实。值得注意的是，当$\alpha>1$时，空间$\dot{B}_{\infty,\infty}^{-\alpha}$是超临界的。此外，范数膨胀现象甚至在已知具有全局正则性的$\alpha \geq 5/4$情形下也会发生。