不可压缩流体在超临界Sobolev空间中的不适定性

我们证明了3D Euler和Navier-Stokes方程在超临界Sobolev空间中是强不适定的。在无粘性情况下，对于任意 $0 < s < \frac{5}{2}$，我们构造了一个 $C^\infty_c$ 初始速度场，其 $H^{s}$ 范数任意小，但3D Euler方程的唯一局部时间光滑解几乎在瞬间产生巨大的 $\dot{H}^{s}$ 范数膨胀。在粘性情况下，对于 $0< s < \frac{1}{2}$，3D Navier-Stokes方程中同样出现 $\dot{H}^{s}$ 范数膨胀，其中 $s = \frac{1}{2}$ 对该方程是尺度临界的。