自由群因子中与 Berezin 量子化及自守形式相关的非交换 Markov 过程

在本文中，我们利用自由群因子作为 Berezin 对上半平面形变（模 PSL$(2,\mathbb{Z})$）的 von Neumann 代数的描述。相应代数中乘积在形变参数处的导数，是在一个稠密子代数上定义的正 Hochschild 2-上闭链。通过分析该上闭链的结构，我们证明存在一个量子动力半群的生成元 $\cal L$，其在强稠密子代数上实现该上闭链。对于稠密子代数中的 $x$，${\cal L}(x)$ 是（扩散）算子 $${\cal L}(x)=\Lambda(x)-(1/2)\{T,x\},$$ 其中 $\Lambda$ 是与自守形式 $\Delta$ 的对数相关的符号函数的逐点（Schur）乘法算子。算子 $T$ 为正且与代数 ${\cal A}_t$ affiliated，并且 $T$ 对应于 ${\cal L}(1)$，其精确含义将在文中给出。经过对应于一种主值型方法的适当归一化（适用于 II$_1$ 因子），$\Lambda$ 在一组弱稠密子代数的并上变为（完全）正。此外，与该形变相关的 2-循环上同调上闭链可用 $\Lambda$ 表示。