由随机非交换几何启发的多矩阵模型 I：作为自由代数中流的函数重整化群

随机非交换几何可视为对非交换几何（NCG）中由谱作用定义的理论进行量子化的一种欧氏路径积分方法。为研究任意维随机 NCG 中的相变，我们研究了多矩阵模型的非微扰函数重整化群，其作用量由厄米与反厄米矩阵中的非交换多项式构成。该结构由 Barrett 模糊空间谱三元组表述下 Dirac 算符的谱作用所决定。本项数学上严格的处理提出了一种“无坐标”语言，该语言或许在其他地方也有用处，尤其因为我们的方法对一般多矩阵模型均成立。工具包是自由代数上的非交换微积分，它允许用 Voiculescu 循环梯度与 Rota-Sagan-Stein 非交换导数来描述重整化群流的生成元——此处引入的非交换 Laplacian。我们探究了函数重整化群方程的代数结构，并作为该形式体系的一个应用，求出了 $\beta$ 函数，确定了大-$N$ 极限下的不动点，并获得了两种不同号差下 $2$ 维几何的临界指数。