具有多迹相互作用的随机多矩阵泛函重整化群代数的带状图推导

我们关注若干（设 $n\geq 1$）随机矩阵集合的泛函重整化群，其势包含多迹，即概率测度包含形如 $\exp[-\mathrm{Tr}(V_1)\times\ldots\times \mathrm{Tr}(V_k)]$ 的因子，其中 $V_1,\ldots,V_k\in \mathbb{C}_{\langle n \rangle}$ 为关于这 $n$ 个矩阵的某些非交换多项式。本文展示了“泛函重整化群代数”——即使得重整化流方程可计算的结构——是如何仅通过要求该方程（归功于 Wetterich）预期应具有的单圈结构而从带状图推导出来的。只要能够用 $\mathrm U(N)$ 不变量来计算重整化流，所获得的结构即为矩阵代数 $M_n( \mathcal{A}_{n,N}, \star )$，其元素属于 $\mathcal{A}_{n,N}=(\mathbb{C}_{\langle n \rangle} \otimes \mathbb{C}_{\langle n \rangle} )\oplus( \mathbb{C}_{\langle n \rangle} \boxtimes \mathbb{C}_{\langle n \rangle})$，其中 $\mathbb{C}_{\langle n \rangle}$ 是由大小为 $N$ 的 $n$ 个埃尔米特矩阵（流动随机变量）生成的自由代数，$\mathcal{A}_{n,N}$ 中齐次元素的乘法对于每个 $P,Q,U,W\in\mathbb{C}_{\langle n \rangle}$ 定义如下：\begin{align*}(U \otimes W) \star ( P\otimes Q) &= PU \otimes WQ \,, & (U\boxtimes W) \star ( P\otimes Q) &=U \boxtimes PWQ \,, \\(U \otimes W) \star ( P\boxtimes Q) &= WPU \boxtimes Q \,,\ & (U\boxtimes W) \star ( P\boxtimes Q) &= \mathrm{Tr} (WP) U\boxtimes Q \,,\end{align*} 该乘法连同条件 $(\lambda U) \boxtimes W = U\boxtimes (\lambda W)$（对于每个复数 $\lambda$）完整定义了符号 $\boxtimes$。