半单 Lie 代数的幂零轨道与混合分次

设 $\sigma$ 为复半单 Lie 代数 $\mathfrak g$ 的一个对合，且 $\mathfrak g=\mathfrak g_0\oplus\mathfrak g_1$ 为相关的 $\mathbb Z_2$-分次。我们研究 $\mathfrak g_0$ 中的幂零 $G_0$-轨道与 $\mathfrak g$ 中相应 $G$-轨道之间的关系。若 $e\in\mathfrak g_0$ 为幂零元且 $\{e,h,f\}\subset\mathfrak g_0$ 为一个 $\mathfrak{sl}_2$-三元组，则半单元 $h$ 给出 $\mathfrak g$ 的一个 $\mathbb Z$-分次。我们的主要工具是 $\mathfrak g$ 的联合 $\mathbb Z\times\mathbb Z_2$-分次，称为混合分次。我们特别地证明：若 $e_\sigma$ 为 $\mathfrak g_0$ 的正则幂零元，则 $e_\sigma$ 的加权 Dynkin 图 $\mathcal D(e_\sigma)$ 仅有孤立零点。还表明若 $G{\cdot}e_\sigma\cap\mathfrak g_1\ne\varnothing$，则 $\sigma$ 的 Satake 图仅有孤立黑节点，且这些黑节点出现在 $\mathcal D(e_\sigma)$ 的零点之中。利用与 $e_\sigma$ 相关的混合分次，我们定义一个内对合 $\check\sigma$ 使得 $\sigma$ 与 $\check\sigma$ 可交换。此处我们证明 $\check\sigma$ 与 $\sigma\check\sigma$ 的 Satake 图均具有孤立黑节点。