简单 Lie 代数中零化轨道的投影与共享轨道

设 $G$ 为一个简单代数群，其李代数记为 $\mathfrak g=Lie(G)$，且 $\mathcal O\subset\mathfrak g$ 为一个零化轨道。若 $H$ 为 $G$ 的一个红化子群，且 $Lie(H)=\mathfrak h$，则 $\mathfrak g=\mathfrak h\oplus\mathfrak m$，其中 $\mathfrak m=\mathfrak h^\perp$。我们考虑自然投影 $\phi: \bar{\mathcal O}\to\mathfrak h$ 和 $\psi:\bar{\mathcal O}\to\mathfrak m$，以及对偶 $(H,\mathcal O)$ 的两个相关属性：$(P_1)$：$\bar{\mathcal O}\cap\mathfrak m={0}$ 和 $(P_2)$：$H$ 在 $\mathcal O$ 中拥有稠密轨道。我们证明 $(P_1)$ 对所有 $\mathcal O$ 都蕴含 $(P_2)$，且当 $\mathcal O=\mathcal O_{min}$（最小零化轨道）时，这些性质等价。如果 $(P_1)$ 成立，则 $\phi$ 为有限映射，且 $\phi(\bar{\mathcal O})$ 为零化 $H$ 轨道 $\mathcal O'$ 的闭包。我们证明 $\mathcal O$ 包含在 $G$ 轨道 $G{\cdot}\mathcal O'$ 的闭包中，并获得具有性质 $(P_1)$ 的偶 $(H,\mathcal O)$ 的分类。该轨道 $\mathcal O'$ 按 Brylinski 和 Kostant 的说法是“共享的”。利用我们的分类，我们检测到了“Nilpotent orbits, normality, and hamiltonian group actions”（J.A.M.S., 7 (1994), 269--298）中给出的具有共享轨道的偶 $(H,G)$ 列表中的一个遗漏。也证明了若 $(P_1)$ 成立于 $(H, \mathcal O_{min})$，则两个变种 $\phi(\mathcal O_{min})$ 和 $\psi(\mathcal O_{min})$ 生成相同的闭子变种 $\mathfrak g$。