压缩感知中基于 $0<q\le1$ 的 $l_q$-最小化的新 RIC 界

受限等距常数 (RICs) 在压缩感知中通过 $l_q(0<q\le1)$ 松弛实现稀疏信号精确恢复的理论中起着重要作用。近期，Cai 和 Zhang[6] 取得了尖锐界 $\delta_{tk}<\sqrt{1-1/t}$（其中 $t\ge4/3$），以保证通过 $l_1$ 最小化精确恢复 $k$ 稀疏信号。本文旨在建立基于 $l_q(0<q\le1)$ 松弛的新 RIC 界。基于关于 $l_q$ 范数的一个关键不等式，我们证明了：(i) 若对于任意 $t>1$ 有 $\delta_{tk}<\sqrt{1-1/t}$，则可通过 $l_{1/2}$ 和 $l_1$ 最小化成功实现精确恢复；(ii) 可推导出若干充分条件，例如对于任意 $0<q<1/2$，当 $k\ge2$ 时 $\delta_{2k}<0.5547$；对于任意 $1/2<q<1$，当 $k\ge1$ 时 $\delta_{2k}<0.6782$；(iii) 给出了任意 $0<q\le1$ 下 $\delta_k$ 的界，特别是对于 $q=1/2,1$，当 $k(\ge2)$ 为偶数时得到 $\delta_k<1/3$，或当 $k(\ge3)$ 为奇数时得到 $\delta_k<0.3203$。