通过加权 $l_1$最小化实现稀疏信号的精确重构

压缩感知领域的数值实验表明，重加权 $l_1$最小化在恢复稀疏信号方面表现优异。本文从经典 NSP（零空间性质）和 RIC（受限等距常数）界的视角出发，建立了通过加权 $l_1$最小化实现稀疏信号精确重构的条件及算法。我们首先引入了 WNSP（加权零空间性质）的概念，并揭示其为精确重构的充要条件。随后，我们证明了加权 $l_1$最小化的 RIC 界为 $\delta_{ak}<\sqrt{\frac{a-1}{a-1+\gamma^2}}$，其中 $a>1$，$0<\gamma\leq1$由零空间上的优化问题确定。当 $\gamma< 1$时，该界大于 $l_1$最小化的 $\sqrt{\frac{a-1}{a}}$。此外，我们还建立了 $\delta_k$的界，并表明在某些温和条件下，它可以大于 $l_1$最小化的锐界 1/3，同时也大于加权 $l_1$最小化的 0.4343。最后，基于我们的权重选择原则，提出了一种改进的迭代重加权 $l_1$最小化（MIRL1）算法，数值实验表明该算法的表现远优于 $l_1$最小化和迭代重加权 $l_1$最小化（IRL1）算法。