限制等距条件下的压缩感知与仿射秩最小化

本文建立了压缩感知和仿射秩最小化问题的新限制等距条件。对于压缩感知，证明了$\delta_{k}^A+\theta_{k,k}^A < 1$保证了在无噪声情况下通过约束$\ell_1$最小化可以精确恢复所有$k$稀疏信号。此外，上界1是紧的，因为对于任意$\epsilon > 0$，条件$\delta_k^A + \theta_{k, k}^A < 1+\epsilon$不足以保证使用任何恢复方法实现这种精确恢复。类似地，对于仿射秩最小化，如果$\delta_{r}^\mathcal{M}+\theta_{r,r}^\mathcal{M}< 1$，则在无噪声情况下通过约束核范数最小化可以精确重建所有秩不超过$r$的矩阵；并且对于任意$\epsilon > 0$，$\delta_r^\mathcal{M} +\theta_{r,r}^\mathcal{M} < 1+\epsilon$不能确保使用任何方法实现这种精确恢复。此外，在有噪声情况下，条件$\delta_{k}^A+\theta_{k,k}^A < 1$和$\delta_{r}^\mathcal{M}+\theta_{r,r}^\mathcal{M}< 1$也足以保证稀疏信号和低秩矩阵的稳定恢复。还讨论了应用和扩展。