平面等质量三体问题八字轨道编舞的Morse指数

我们报告了平面内通过齐次势 $-1/r^a$ 或 Lennard-Jones 型 (LJ) 势 $1/r^{12} - 1/r^6$ 相互作用的三个相同物体的系统八字编舞解的 Morse 指数的数值计算，其中 $r$ 为物体间的距离。Morse 指数是使作用量泛函 $S$ 的二阶变分 $S^{(2)}$ 为负的独立变分函数的个数。我们分别计算了周期函数、编舞函数和八字编舞函数定义域内的三种 Morse 指数 $N$、$N_c$ 和 $N_e$。对于齐次系统，我们得到当 $0 \le a < a_0$ 时 $N=4$，当 $a_0 < a < a_1$ 时 $N=2$，当 $a_1 < a$ 时 $N=0$，以及当 $0 \le a$ 时 $N_c=N_e=0$，其中 $a_0=0.9970$，$a_1=1.3424$。对于 $a=1$，我们通过 $S^{(2)}$ 展示了八字编舞与 Sim\'{o} 发现的周期解之间的强关联。对于 LJ 系统，我们计算了当周期 $T \to \infty$ 时趋向于 $a=6$ 齐次系统八字解的解的指数。我们将 $N$、$N_c$ 和 $N_e$ 表示为 $T$ 从 $T \to \infty$ 逐渐变化时的单调递增函数，它们从 $N=N_c=N_e=0$ 开始，在最小的 $T$ 处跃变 $1$，并在另一分支的 $T \to \infty$ 时达到 $N=12$、$N_c=4$ 和 $N_e=1$。