8字形及其他周期三体轨道的近似作用量-角变量

我们使用最大置换对称的三体坐标集——包括“超半径” $R = \sqrt{\rho^{2} + \lambda^{2}}$、“重标度三角形面积” $\frac{\sqrt 3}{2 R^2} |{\bm \rho} \times {\bm \lambda}|$ 以及（辫子）超角 $\phi = \arctan(\frac{2{\bm \rho} \cdot {\bm \lambda}}{\lambda^2 - \rho^2})$——来分析 Moore \cite{Moore1993} 在牛顿三体问题中发现的“8字形”编舞三体运动。这里 ${\bm \rho}, {\bm \lambda}$ 是两个雅可比相对坐标矢量。我们证明该运动的周期性与辫子超角 $\phi$ 密切相关。我们构造了一个近似的运动积分 ${\bar{G}}$，它与超角 $\phi$ 一起构成该问题的共轭作用量-角变量对，并证明它是8字形运动稳定性的根本原因。我们在另外两种吸引的置换对称三体势中构造了8字形轨道。我们比较了这三种势中的8字形轨道，并讨论了它们的普遍特征以及差异。我们将这些变量应用于两条新的周期但非编舞轨道：一条的 $\phi$ 随时间 $t$ 持续上升，如同8字形运动，但具有不同的、更复杂的周期性；另一条则具有振荡的 $\phi(t)$ 时间行为。