逐阶后牛顿近似下的三体运动方程

在牛顿引力中，等质量三体（及 N 体）问题存在周期解。8 字形解就是其中之一。在本文中，我们讨论了该解在广义相对论的一阶和二阶后牛顿近似下的情况。为此，我们从三体哈密顿量导出了 ADM 规范下的正则运动方程。随后，我们数值积分了这些方程，表明能量、线动量和角动量等量在数值误差范围内是守恒的。我们还研究了初始参数与三体系统物理尺度的标度关系。通过这种方式，我们可以评估广义相对论结果何时变得重要，并确定这发生在距离量级为 $100M$ 时，其中 $M$ 为系统的总质量。对于远小于该距离的情况，该系统可能会因引力辐射而完全坍缩。这为牛顿 N 体模拟设定了一个自然的截断。该方法还可用于为后续的全非线性数值模拟动态提供初始参数。