一种带有SPBC的新变分方法与牛顿四体问题的许多稳定舞蹈解

自2000年Chenciner和Montgomery证明了第一个非常稳定的简单舞蹈运动——平面三体问题的八字形以来，大量简单舞蹈解已被数值发现，但其中很少有严格的存在性证明，且没有一个解是稳定的。对天文学最重要的是稳定的周期解，它们可能实际出现在某些恒星系统中。关于n体问题的简单舞蹈解自然产生一个问题：除了八字形之外，还有其他稳定的简单舞蹈解吗？在本文中，我们通过发展一种带有结构预设边界条件（SPBC）的新变分方法，证明了经典牛顿四体问题中存在无穷多个简单舞蹈解。令人惊讶的是，这类舞蹈轨道族都是线性稳定的。在许多稳定的简单舞蹈轨道中，最非凡的是稳定的星形五边形舞蹈解。星形五边形由四段曲线组装而成，这些曲线是通过在SPBC上最小化拉格朗日作用泛函得到的。我们还证明了存在无穷多个双舞蹈周期解、无穷多个非舞蹈周期解以及不可数多个拟周期解。每种类型的周期解都有许多稳定解，并且可能有无穷多个稳定解。